Chapter 0

什麼是線性代數(´･ω･`)？

• 線性 令f(x)是一個函數

  定義１(初階數學適用)

  • 口語化定義：$f(x)$ 在座標上畫出來是一條直線。則我們稱 $x$ 和 $f(x)$ 為線性關係。
  • 專業版定義：$f(x)$ 為一階多項式，即可表示成$f(x) = ax + b$，其中$a,b$ 為常數。則我們稱 $x$ 和 $f(x)$ 為線性關係。

  定義２ (請記得這個)

  • 口語化定義：$f(x)$ 在座標上畫出來是一條過原點的直線。則我們稱 $x$ 和 $f(x)$ 為線性關係。
  • 專業版定義：凡具有**可加性(Additivity)及一次齊次性(Homogeneous)**的 $f(x)$ ，皆與 $x$ 呈線性關係。

  這裡是廢話：我一開始就已經說函數了，如果您還在糾結鉛直線，那我只好在這裡提 (嘲) 醒 (笑) 你惹

• 代數

  這邊指的是我們用來當作未知數，諸如： $x$ , $y$ , $z$ , $x_1$ , $x_2$ , .... , $x_n$ 的東西。基本上初學線性代數了解到這邊就夠了。更精準的定義請自己去google ψ(｀∇´)ψ

• 線性代數

  行為上來講就是去求線性運算子裡面的代數，或者去了解它的特性。意義有很多，學後便知。
  有講跟沒講一樣。

• $function~V.S~operator$

  通常我們講function是指一個函數(´･ω･`)；而operator則是指運算元(就是某種運算方式)。 後者可以指某個函數、某個矩陣運算、某種稀奇古怪的運算方式。因此為了方便，後面若再出現函數的字眼，可以自動把它翻譯成operator。事實上，任何operator，只要符合定義2，都可以稱作線性。

為什麼要學線性代數🤔？ 學了又可以幹嘛🤔？

• 現實層面

  • 為了學分R
  • 以後看某些paper才不會查個專有名詞結果還看不懂查詢內容
  • 未來某些課程會用到相關知識
  • 線代學得好，專題沒煩惱（不，還是很煩惱
  • 多了一個可以一本正經胡說八道的素材

• 官腔層面

  • 去問老師。

$Def$ 可加性($Additivity$) :

令 $f(x)$ 為一函數，$s,t \in D_f$。
若$f(s) + f(t) = f(s+t) , \forall ~s,t$。則我們稱 $f(x)$ 具有可加性

• 範例：

  Let $f(x)=87x$，$s,t \in D_f$.Then：

  $f(s)+f(t)=87s+87t=87(s+t)=f(s+t)$

  $Therefore, f(x)~is~an~additivity~function.$

• 範例：

  Let $f(x) = \int x {\rm d}x$，$s=ax+b~,~t=cx+d$.Then：

  $s+t= (a+b)x+(c+d)$

  $f(s) = \int (ax+b) {\rm d}x = \frac{1}{2}ax^2+bx+C$

  $f(t) = \int (cx+d) {\rm d}x = \frac{1}{2}cx^2+dx+C$

  $f(s)+f(t) = \frac{1}{2}(a+c)x^2+(b+d)x+C$

  $f(s+t) = \int [(a+b)x+(c+d)] {\rm d}x = \frac{1}{2}(a+b)x^2+(c+d)x+C$

  ∵ $f(s)+f(t)=f(s+t)=\frac{1}{2}(a+b)x^2+(c+d)x+C$

  ∴ $f(x)$ is additivity when $s,t \in P_1$

  作者碎碎念：
  事實上對於$n$次多項式都有這性質，就是微積分裡面常見的$\int (f(x) \pm g(x)) {\rm d}x = \int f(x) {\rm d}x \pm \int g(x) {\rm d}x$。不過在這邊我只是為了展示可加性，所以就不證明它了( ´ ▽ ` )ﾉ

• 範例：

  Let $f(x)=94x+87$，$s,t \in D_f.$Then：

  $f(s)+f(t)=(94s+87)+(94t+87)=94(s+t)+174$

  $f(s+t)=94(s+t)+87 \neq f(s)+f(t)=94(s+t)+174$

  $Therefore, f(x)~is~not~an~additivity~function.$

$Def$ 齊次性($Homogeneous$) :

令 $f(x)$ 為一函數，$a$ 為常數
若$f(ax)=a~f(x)$，則稱$f(x)~is~a~homogeneous~funcion$

• 範例：

  Let $f(x)=0~,~a \in$ ℝ .Then:

  $f(ax)=0=a~f(x)$

  $Therefore, f(x)~is~a~homogeneous~function.$

• 範例：

  Let $f(x) = a_1x+a_0 \in P_1~,~a_1,a_0 \in$常數 $~,~b \in$ ℝ .Then:

  $f(bx)=a_1bx+a_0$

  $b~f(x)=a_1bx+a_0b$

  When $a_0=0$ , $f(x)~is~a~homogeneous~function.$

  Otherwise , $f(x)~is~not~a~homogeneous~function.$

作者碎碎念：數學上有些常用$der$符號，高中隨便學，大學當常識，導致常常看不懂式子在公三小，所以便有了這篇(´･ω･`)。由於想到什麼就加上去，所以順序會很混亂請見諒$www$

• 回去讀高中數學系列 

  • $\in$

    In，翻譯為屬於。

  • $\notin$

    Not in，翻譯為不屬於。

  • $\subset$

    Subset，翻譯為包含於。
    A $\subset$ B讀作 A包含於B。
    A is a subset of B.
    意義：A有的元素B一定有，可是B有A所沒有的元素。

  • $\supset$

    Supset，翻譯為包含。
    請自己舉一反三(´･ω･`)。
    其實本人很少看到有人用這符號，都用下面那個居多

  • $\subseteq$

    跟 $\subset$有87%像。有點小小的不同如下：
    A $\subseteq$ B 指的是
    A is a subset of B or A is equal to B.
    意義：A可能是B的子集合，也可能跟B等價

  • $\supseteq$

    請自己舉一反三(´･ω･`)。

  • $\not\subset$

    Not subset，就是非子集合拉。

  • $\bigcap$

    Intersection，翻譯為交集。

  • $\bigcup$

    Union，翻譯為聯集。

  • $\bigwedge$

    邏輯上的and，翻譯為且。

  • $\bigvee$

    邏輯上的or，翻譯為或。

  • $\forall$

    For all，翻譯為對於所有的...。
    注意：使用 $\forall$ 之前，記得先明確定義所設的參數，不然別人不知道你在all尛。

  • $\exists$

    Exist，翻譯為存在。
    備註:只要有就算存在，不管是一個、兩個、還是要你命三千個。
    $\exists$! 為存在且唯一，代表只有一個(´･ω･`)。

  • ℂ
    Complex (number)，翻譯為複數。

  • ℝ
    Real (number)，翻譯為實數。
    正數有時會以 ℝ$^+$ 表示；反之 ℝ$^-$ 為負數。

  • ℚ
    Rational (number)，翻譯為有理數。
    假設無理數的集合用S表示，則S可能有以下幾種表達方式：
    S = ℚ' = {ℝ/ℚ} = {$x|x \in$ ℝ , $x \notin$ ℚ}

  • ℤ
    Integer (number)，翻譯為整數。
    非負整數經常以 ℤ$^+$ 表示。其實就是 ℕ ∪ 0。

  • ℕ
    Natural (number)，翻譯為正整數/自然數。

  • 集合表示方式

    令S為一個集合，最常見的表示方式為 S = {x|x的屬性}
    e.g 偽娘 = {妹子｜有JJ}((這個例子真的好嗎...
    e.g ℕ = {$x|x \in$ℤ$^+,x \neq 0$}

• $D$＋下標文字。 e.g: $D_f~,~D_g~,~D_h$...
  $D$的原文是Domain.
  $D_f$指的就是 $f$ 的定義域；$D_g$指的就是 $g$ 的定義域。以此類推。

• $P$＋下標數字。 e.g: $P,P_1,P_2,P_n$...
  $P$的原文是Polynomial.
  $P_1$指的是不高於一次的多項式；$P_2$指的是不高於二次的多項式。以此類推。
  所以說$P_1 \subset P_2 \subset P_3 \subset ... \subset P_n$。
  另外，$P$指的就是多項式，沒有指定次數，所以也可以是無限次；
  至於$P_n$指的就是n次多項式，n是多少不知道，反正不重要(´･ω･`)，反正不會是無限次。